Persamaan ini pertama kali dipelajari oleh seseorang yang
bernama Diophantus yang menghabiskan hidupnya di Alexandria. Diophantus, juga
dikenal dengan julukan“bapak dari aljabar”, merupakan seorang matematikawan
yunani yang bermukim di Iskandaria, pada waktu itu Alexandria adalah pusat
pembelajaran Matematika.Diophantus hidup sekitar abad ke-3.
Sebenarnya masih terdapat banyak perdebatan mengenai pada
tahun berapa dia hidup. Hal tersebut dikarenakan bencana yang melanda Barat
dengan kejatuhan Roma, jugapada pembakaran Perpustakaan di Alexandria di 640
masehi mengakibatkan hampir semua rincian tentang kehidupan Diophantus ikut
hilang karenanya. Tetapi, dapat dipastikan bahwa dia hidup antaratahun 150 dan
350masehi, karena ia menyebut Hypsicles (dikenalpada sekitar tahun150) dan
disebutkan oleh Theon dari Alexandria (sekitar 350). Satu lain secarik bukti,
Surat Michael Psellus (abad ke-11), menunjukkan 250 masehi adalah waktu paling
mungkin kapan Diophantus hidup. Selain itu menurut Cohen dan Drabkin(dalam
Stillwell, 2010:50), terdapat petunjuk tentang masa kehidupan Diophantus dalam
sebuah teka-teki dalam anthology bahasa Yunani (sekitar 600c) yang berbunyi
God granted him to be a boy for the sixth part of his life,
and adding a twelfth part to this, He clothed his cheeks with down. He lit him
the light of wedlock after a seventh part, and five years after his marriage He
granted him a son. Alas! lateborn wretched child; after attaining the measure
of half his father’s life, chill Fate took him. After consoling his grief by
this science of numbers for four years he ended his life.
“Seperenam kehidupan yang diberikan Tuhan kepadaku adalah
masa muda. Setelah itu, seperduabelasnya, cambang dan berewokku mulai tumbuh.
Ditambah masa hidupku untuk menikah, dan tahun kelima mempunyai anak. Sialnya,
setengah waktu kehidupanku untuk mengurus anak. Empat tahun kugunakan bersedih.
Berapa umur Diophantus?”
Berikut adalah penyelesaian dari permasalahan di atas. Misal
umur Diophantus adalah x, sehingga
diperoleh x=1/6 x+1/12 x+ 1/7 x+5+1/2 x+4 . Dari pemecahan peroblem ini diketahui umur
Diophantus adalah 84 tahun, sedang dia menikah pada umur 26 tahun, dan usia
anaknya setengah dari usianya yaitu 42 tahun
Semasa hidup Diophantus terkenal karena karyanya yang
berjudul Arithmetica. Arithmetica adalah suatu pembahasan analitis teori
bilangan yang berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat
persamaan. Persamaan-persamaan tersebut dikenal sebagai DiophantineEquation
(Persamaan Diophantine).
Persamaan deophantine merupakan suatu persamaan yang
mempunyai solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine
tidak harus berbentuk persamaan linier, bisa saja kuadrat, kubik, atau lainnya
selama mempunyai solusi bilangan bulat.
Bentuk paling sederhananya diberikan oleh
ax + by = c… (1)
dimana a, b dan c koefisien dan konstanta bulat yang
diberikan. Penyelesaian persamaan Diophantine (1) adalah semua pasangan bilangan bulat (x, y)
yang memenuhi persamaan ini. jika d adalah FPB dari a dan b, maka agar
persamaan (1) mempunyai solusi maka d harus dapat membagi c (mengapa? alasannya
dapat diketahui pada algoritma euclid tentang FPB)
Metode untuk menyelesaikan persamaan Diophantine
terdapat banyak sekali metode untuk menyelesaikan persamaan
Diophantin, disini saya akan menjelaskan dua metode yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan persamaan Diophantin, yaitu dengan algoritma Euclid dan cara
reduksi. (saya hanya akan menjelaskan dengan cara Euclid saja)
Menyelesaikan persamaan DiophantineDengan Algoritma Euclid
Contoh: Tentukan selesaian persamaan Diophantine 172x + 20y
= 1000
untuk menyelesaikan persamaan diophantine di atas, pertama
kita harus memastikan bahwa 1000 dapat dibagi oleh (172,20) (baca: FPB 172 dan
20)
jadi kita cari dahulu FPB 172 dan 20
Dengan menggunakan Algoritma Euclid diperoleh (172,20)
diperoleh
172 = (8) 20 + 12
20 = (1) 12 + 8
12 = (1) 8 + 4
8 = (2) 4
Sehingga (172,20) = 4.
Karena 4 │1000 maka 172x + 20y = 1000 mempunyai
selesaian.
Dengan menggunakan jalan mundur pada langkah di atas
diperoleh
4 = 12 – (1) 8
= 12 – (1) [20 – (1) 12]
= (2) 12 – (1) 20
= 2 [172 – (8)20] – 20
= (2) 172 + (-17) 20 atau
4 = (2) 172 + (-17) 20.
Kalikan kedua ruas dengan 250 diperoleh
1000 = 250.4 = 250 {(2) 172 + (-17) 20}
= 500.172 + (-4250) 20
atau
500.172 + (-4250) 20=1000
maka didapat x = 500 dan y = -4250.
apakah selesaian hanya (500, -4250) saja? tidak, masih
banyak selesaian yang lain dari persamaan tersebut.
Jika (xo,yo) adalah penyelesaian suatu persamaan
Diophantine, maka penyelesaian lain diberikan oleh x = xo + (b/d)t dan y = yo – (a/d)t, untuk sebarang bilangan
bulat t.
bukti:
dari persamaan Diophantine ax+by=c, Misal d adalah FPB dari
a dan b, xo dan yo adalah selesaian persamaan yang diketahui. Jika x’ dan y’
selesaian yang lain maka
axo + byo = c = ax’ + by’
a(x’ – xo) = b(yo – y’)
Dengan menggunakan teorema pada Algoritma Pembagian, ada
bilangan bulat relatif prima r dan s sehingga a = dr dan b = ds. Sehingga
diperoleh r(x’-xo) = s(yo-y’). Bentuk ini memberikan fakta bahwa
r │ s(yo-y’). Dengan (r,s) = 1. dengan
menggunakan Lemma Euclid diperoleh r │ (yo-y’) atau
dengan kata lain (yo-y’) = rt, untuk suatu bilangan bulat t.
x’-xo = st.
x’ = xo + st
x’ = xo + (b/d)t
…………………(1)
Dengan cara yang sama diperoleh
yo – y’ = rt.
y’ = yo - rt
y’ = yo – (a/d)t …………………
(2)
dari (1) dan (2) dapat dilihat bahwa:
ax’ + by’ = a[xo + (b/d)t] + b [yo - (a/d)t]
maka penyelesaian lain dari
ax+by=c, adalah x = xo + (b/d)t
dan y = yo – (a/d)t, untuk sebarang
bilangan bulat t.
Dengan demikian terdapat tak hingga selesaian dari persamaan
Diophantine yang diberikan.
jadi Semua selesaian dari persamaan 172x + 20y = 1000 adalah
x = 500 + (20/4)t = 500 + 5t
y = -4250 – (172/4)t = -4250 – 43t, untuk suatu bilangan
bulat t.
