Persamaan Diophantine dan Diophantus

Persamaan ini pertama kali dipelajari oleh seseorang yang bernama Diophantus yang menghabiskan hidupnya di Alexandria. Diophantus, juga dikenal dengan julukan“bapak dari aljabar”, merupakan seorang matematikawan yunani yang bermukim di Iskandaria, pada waktu itu Alexandria adalah pusat pembelajaran Matematika.Diophantus hidup sekitar abad ke-3.

Sebenarnya masih terdapat banyak perdebatan mengenai pada tahun berapa dia hidup. Hal tersebut dikarenakan bencana yang melanda Barat dengan kejatuhan Roma, jugapada pembakaran Perpustakaan di Alexandria di 640 masehi mengakibatkan hampir semua rincian tentang kehidupan Diophantus ikut hilang karenanya. Tetapi, dapat dipastikan bahwa dia hidup antaratahun 150 dan 350masehi, karena ia menyebut Hypsicles (dikenalpada sekitar tahun150) dan disebutkan oleh Theon dari Alexandria (sekitar 350). Satu lain secarik bukti, Surat Michael Psellus (abad ke-11), menunjukkan 250 masehi adalah waktu paling mungkin kapan Diophantus hidup. Selain itu menurut Cohen dan Drabkin(dalam Stillwell, 2010:50), terdapat petunjuk tentang masa kehidupan Diophantus dalam sebuah teka-teki dalam anthology bahasa Yunani (sekitar 600c) yang berbunyi

God granted him to be a boy for the sixth part of his life, and adding a twelfth part to this, He clothed his cheeks with down. He lit him the light of wedlock after a seventh part, and five years after his marriage He granted him a son. Alas! lateborn wretched child; after attaining the measure of half his father’s life, chill Fate took him. After consoling his grief by this science of numbers for four years he ended his life.

“Seperenam kehidupan yang diberikan Tuhan kepadaku adalah masa muda. Setelah itu, seperduabelasnya, cambang dan berewokku mulai tumbuh. Ditambah masa hidupku untuk menikah, dan tahun kelima mempunyai anak. Sialnya, setengah waktu kehidupanku untuk mengurus anak. Empat tahun kugunakan bersedih. Berapa umur Diophantus?”

Berikut adalah penyelesaian dari permasalahan di atas. Misal umur Diophantus adalah x, sehingga  diperoleh x=1/6 x+1/12 x+ 1/7 x+5+1/2 x+4  . Dari pemecahan peroblem ini diketahui umur Diophantus adalah 84 tahun, sedang dia menikah pada umur 26 tahun, dan usia anaknya setengah dari usianya yaitu 42 tahun

Semasa hidup Diophantus terkenal karena karyanya yang berjudul Arithmetica. Arithmetica adalah suatu pembahasan analitis teori bilangan yang berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat persamaan. Persamaan-persamaan tersebut dikenal sebagai DiophantineEquation (Persamaan Diophantine).

Persamaan deophantine merupakan suatu persamaan yang mempunyai solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine tidak harus berbentuk persamaan linier, bisa saja kuadrat, kubik, atau lainnya selama mempunyai solusi bilangan bulat.

Bentuk paling sederhananya diberikan oleh

ax + by = c… (1)

dimana a, b dan c koefisien dan konstanta bulat yang diberikan. Penyelesaian persamaan Diophantine (1)   adalah semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan ini. jika d adalah FPB dari a dan b, maka agar persamaan (1) mempunyai solusi maka d harus dapat membagi c (mengapa? alasannya dapat diketahui pada algoritma euclid tentang FPB)

Metode untuk menyelesaikan persamaan Diophantine

terdapat banyak sekali metode untuk menyelesaikan persamaan Diophantin, disini saya akan menjelaskan dua metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Diophantin, yaitu dengan algoritma Euclid dan cara reduksi. (saya hanya akan menjelaskan dengan cara Euclid saja)

Menyelesaikan persamaan DiophantineDengan Algoritma Euclid

Contoh: Tentukan selesaian persamaan Diophantine 172x + 20y = 1000

untuk menyelesaikan persamaan diophantine di atas, pertama kita harus memastikan bahwa 1000 dapat dibagi oleh (172,20) (baca: FPB 172 dan 20)

jadi kita cari dahulu FPB 172 dan 20

Dengan menggunakan Algoritma Euclid diperoleh (172,20) diperoleh

172 = (8) 20 + 12

20   = (1) 12 + 8

12   = (1)  8  + 4

8    = (2) 4

Sehingga (172,20) = 4.

Karena 4 │1000 maka 172x + 20y = 1000 mempunyai selesaian.

Dengan menggunakan jalan mundur pada langkah di atas diperoleh

4 = 12 – (1) 8

= 12 – (1) [20 – (1) 12]

= (2) 12 – (1) 20

= 2 [172 – (8)20] – 20

= (2) 172 + (-17) 20 atau

4 = (2) 172 + (-17) 20.

Kalikan kedua ruas dengan 250 diperoleh

1000 = 250.4 = 250 {(2) 172 + (-17) 20}

= 500.172 + (-4250) 20

atau

500.172 + (-4250) 20=1000

maka didapat x = 500 dan y = -4250.

apakah selesaian hanya (500, -4250) saja? tidak, masih banyak selesaian yang lain dari persamaan tersebut.

Jika (xo,yo) adalah penyelesaian suatu persamaan Diophantine, maka penyelesaian lain diberikan oleh x = xo + (b/d)t dan  y = yo – (a/d)t, untuk sebarang bilangan bulat t.

bukti:

dari persamaan Diophantine ax+by=c, Misal d adalah FPB dari a dan b, xo dan yo adalah selesaian persamaan yang diketahui. Jika x’ dan y’ selesaian yang lain maka

axo + byo = c = ax’ + by’

a(x’ – xo) = b(yo – y’)

Dengan menggunakan teorema pada Algoritma Pembagian, ada bilangan bulat relatif prima r dan s sehingga a = dr dan b = ds. Sehingga diperoleh r(x’-xo) = s(yo-y’). Bentuk ini memberikan fakta bahwa r │ s(yo-y’). Dengan (r,s) = 1. dengan menggunakan Lemma Euclid diperoleh r │ (yo-y’) atau dengan kata lain (yo-y’) = rt, untuk suatu bilangan bulat t.

x’-xo = st.

x’ = xo + st

x’ = xo + (b/d)t  …………………(1)

Dengan cara yang sama diperoleh

yo – y’ = rt.

y’ = yo -  rt

y’ = yo – (a/d)t …………………  (2)

dari (1) dan (2) dapat dilihat bahwa:

ax’ + by’ = a[xo + (b/d)t] + b [yo - (a/d)t]

maka penyelesaian lain dari  ax+by=c, adalah  x = xo + (b/d)t dan  y = yo – (a/d)t, untuk sebarang bilangan bulat t.

Dengan demikian terdapat tak hingga selesaian dari persamaan Diophantine yang diberikan.

jadi Semua selesaian dari persamaan 172x + 20y = 1000 adalah

x = 500 + (20/4)t = 500 + 5t

y = -4250 – (172/4)t = -4250 – 43t, untuk suatu bilangan bulat t.